Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut diperoleh:
1. Cos (α + β) +
Cos (α - β) = 2 Cos α Cos β
ØPembuktian:
Rumus penjumlahan merupakan bentuk lain dari
rumus perkalian cosinus
Cos
(α + β) + Cos (α - β) = (Cos α Cos
β -
Sin α sin β) + (Cos α Cos β + Sin α Sin β)
=
Cos α Cos β - Sin α sin β + Cos α Cos β + Sin α Sin β
= Cos α Cos β + Cos α Cos β
= 2 Cos α Cos β (Terbukti)
Ø Turunan rumus jumlah:
Misalkan α + β = A dan
α - β = B maka
α +
β = A α +
β = A
α - β = B + α - β = B -
α - β = B + α - β = B -
2α = A
+ B 2β = A
- B
α = ½ (A + B) β = ½ (A - B)
Sehingga rumus jumlah cosinus menjadi:
Cos (α + β) +
Cos (α - β) = 2 Cos α Cos β
Cos A + Cos B =
2 Cos α Cos β
= 2 Cos ½(A + B) Cos ½ (A - B)
Cos A + Cos B = 2 Cos ½ (A + B) Cos ½ (A - B)
Ø Contoh Soal
Hitunglah hasil dari:
- Cos 55° + Cos 25° = 2 Cos ½ (55° + 25°) Cos ½ (55° - 25°)
= 2 Cos ½
(80°) Cos ½ (30°)
= 2 Cos 40° Cos 15°
= 2. 0,76 . 0,96
= 1,48
- Cos 80° Cos 20° = ½ {Cos (80°+20°) + Cos (80°-20°)}
= ½ (Cos 100° + Cos 60° )
= ½ Cos
160°
= Cos 80°
= 0,173
2. Cos (α+β) - Cos
(α-β) = -2 Sin α Sin β
ØPembuktian:
Rumus pengurangan merupakan bentuk lain
dari rumus perkalian cosinus
Cos
(α + β) - Cos (α - β) = (Cos α Cos β - Sin α Sin β) - (Cos α Cos β + Sin α Sin β)
= Cos α Cos
β -
Sin α Sin β - Cos α Cos β - Sin α Sin β
= -2 Sin α Sin β (Terbukti)
Ø Turunan rumus selisih:
Misalkan α + β = A dan
α - β = B maka
α + β
= A α + β
= A
α - β = B - α - β = B +
α - β = B - α - β = B +
2β = A
- B 2α = A+B
β = ½ (A - B) α = ½ (A + B)
Sehingga rumus selisih cosinus menjadi:
Cos (α+β) -
Cos (α-β) = -2 Sin α Sin
β
Cos A - Cos = -2 Sin α Sin β
Cos A - Cos B = -2 Sin ½ (A + B) Sin ½ (A - B)
Ø Contoh soal
Hitunglah hasil dari :
- Cos 35°- cos 75° = -2 sin ½ (35° + 75°) sin ½ (35°- 75°)
= -2 sin 55° sin (-20°)
= 2 sin 55° sin
20°
= 2. 0,82 . 0,34
= 0,56
- Sin 55° sin 40° = - ½ [cos ( 55° + 40°) - cos (55° - 40°)]
= - ½ (cos 95° - cos 15°)
= - ½ cos
80°
= - ½ .
0,17
= -
0,086
Latihan Soal
Hitunglah hasil dari:
1. Cos 65° + Cos 15°
2. Cos (α+2x)
- Cos α
3. Cos (π+x)
+ Cos (π-x)
4. 2 Cos (45°+x)
Cos (135°+x)
Penyelesaian :
1. Cos 65° + Cos 25° = 2
Cos 1/2 (65°+ 25°)
Cos 1/2 (65°- 25°)
= 2 Cos 1/2 (90°) Cos 1/2 (40°)
= 2 Cos 30° Cos 20°
= 2 . 0,86 . 0,93
= 1,62
2. Cos (α+2x)
– Cos α = -2 Sin 1/2
{(α+2x)+ α} Sin 1/2 {(α+2x)-
α}
= -2 Sin 1/2 (2α+2x)
Sin 1/2 (2x)
= -2 Sin (α+x)
Sin x
3. Cos (π+x)
+ Cos (π-x) = 2 Cos 1/2 {(π+x)
+ (π-x)} Cos 1/2 {(π+x)
- (π-x)}
= 2 Cos 1/2 (2π)
Cos 1/2 (2x)
= 2 Cos π Cos x
= 2 (-1) Cos x
= -2 Cos x
4. 2 Cos (45°+x)
Cos (135°+x) = Cos {(45°+x)
+ (135°+x)} + Cos {(45°+x) - (135°+x)}
= Cos
(180°+2x) + Cos (-90°)
=
Cos 180°+ Cos 2x + Cos 90°
= -1
+ Cos 2x + 0
= -
Cos 2x
Daftar Pustaka
Ayres, Frank
& A. Schmidt, Philip. (2004). Matematika Universitas. Jakarta :
Penerbit Erlangga.
