pernyataan berkuantor dan penarikan kesimpulan

1.       Pernyataan Berkuantor

• Pernyataan berkuantor dapat dibagi menjadi 2, yaitu :

a.       Kuantor Universal (Kuantor Umum)

-  Dilambangkan dengan “∀  “ dibaca : untuk semua atau untuk setiap.

-  Notasinya ∀x , p(x) dibaca: untuk setiap x , berlaku p(x).

-   ∀x , p(x) akan bernilai benar (B) jika dan hanya jika p(x) benar.

-    ∀x , akan bernilai salah apabila ada x  yang menyebabkan p(x) salah.

b.      Kuantor Eksistensial

-  Dilambangkan dengan “ ∃ ” dibaca : terdapat, ada, beberapa, paling sedikit ada satu.

-  Notasinya ∃x , p(x) dibaca : terdapat x  sehingga berlaku p(x).

-   ∃x , p(x) akan bernilai benar apabila ada x  yang menyebabkan p(x) benar.

-  Akan bernilai salah apabila untuk semua x , p(x) salah.

Contoh :

                     Tentukan nilai kebenaran kalimat dibawah ini jika S = {x ׀ x  B}

1.      ∀x, x² - x ≥ 0

Jawab : x² - x ≥ 0

        x² ≥ x

HP = {x ׀ x  B} = S ....(B)

2.      ∃x, x² + 7x + 12 = 0

Jawab : x² + 7x + 12 = 0

                    (x + 4) (x+3)  = 0

                    x = -4 V x = -3

                         {-3, -4}

HP = { -3, -4}≠ ϕ  ....(B)

•   Negasi (Ingkaran) Kalimat Berkuantor

~ {∀x , p(x)} = ∃x , ~ p(x)

~ {∃x , p(x)} = ∀x , ~ p(x)

Contoh :

1.      ~ (∀x, x² - x ≥ 0) = ∃x, x² – x < 0

2.      ~ (∃x, x² + 7x + 12 = 0) = ∀x, x² + 7x + 12 ≠ 0

•   Counter Example ( Contoh Balasan )

Diketahui : ~ {∀x , p(x)} = ∃x, ~ p(x)

Untuk memperlihatkan sebuah pernyataan ∀x, p(x) bernilai salah, ekuivalen dengan memperlihatkan bahwa ada sebuah x_o  yang menyebabkan p(x_o) salah.

Contoh : Carilah sebuah counter example, apabila ada :

1.      ∀x  R, ׀x׀  ≠ 0 (Sa) karena ada x_o = 0  R sehingga ǀ0ǀ = 0

Definisi ׀x׀ :    -     x apabila x > 0

-          0 apabila x = 0

-          -x apabila x < 0

ǀ2ǀ   x = 2 > 0    →  ǀ2ǀ = 2

ǀ-2ǀ = - (-2)       , x = -2 < 0

= 2

2.      ∀x  R, x² > x    ( S )

Karena ada  x_o = 1  R sehingga 1² = 1

3.      Diketahui : P = { 2, 3, ...., 8, 9}

∀x  P, x² > 1   ( B )

4.      Tidak ada x_o  P sehingga x² ≤ 1

2.    Penarikan Kesimpulan

            a. Modus Ponens

                        Pr 1 : p → q

                        Pr 2 : p

          K : q 

                  b. Modus Tollens

                        Pr 1 : p → q

                              Pr 2 : ~ q

                                  K : ~ p

                  c. Silogisme

                     1) Hypothetical Silogisme

                                 Pr 1 : p → q

                                 Pr 2 : q → r

                                    K : p → r

                     2) Disjuntive Silogisme

                                 Pr 1 : p V q

                                 Pr 2 : ~ p

             K : q

                  d. Constructive Dilemma

                           Pr 1 : p → q

                           Pr 2 : r → s

                           Pr 3 : p V r

                               K : q V s

                  e. Destructive Dilemma

                           Pr 1 : p → q

                           Pr 2 : r → s

                           Pr 3 : ~ q V ~ s

                               K : ~ p V ~ r

                 f. Simplikasi

Pr : p Λ q

       K : p      atau   K : q

              g. Konjungsi

                    Pr 1 : p

                    Pr 2 : q

   K : p Λ q

                 h. Addition

                        Pr : p

                        K : p V q

                        atau     Pr : q

                                     K : p V q

                Keterangan  :  Pr = premis

                                 K = konklusi / kesimpulan

         Memvalidasi Aturan Penarikan

a.       Dengan Tabel Kebenaran

Buat pernyataan baru :

Antar premis dihubungkan dengan “ dan “

Dari premis ke konklusi dengan “ → “

Contoh :

1)      Modus Ponens

[( p → q ) Λ p] → q

1	2	3	4	5
P	q	p → q	3 Λ 1	4 → 2
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

Tautologi → valid

2)      Disjuntive Silogisme

[( p V q ) Λ ~ p] → q

1	2	3	4	5	6
p	q	~ p	p V q	4 Λ 3	5 → 2
B	B	S	B	S	B
B	S	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B
S	S	B	S	S	B

      Tautologi → valid

b.      Dengan Baris Kritis

Baris kritis : suatu baris dimana semua premisnya bernilai benar (B).

Jika setiap konklusi pada baris kritis bernilai benar (B) maka aturan penarikan kesimpulan ( valid ).

Memvalidasi Penarikan Kesimpulan Dengan Aturan Penarikan Kesimpulan

Contoh: Gunakan aturan penarikan kesimpulan untuk membuktikan penarikan kesimpulan berikut :

1.      (i)  p ⋀ q    ... Pr

(ii) p → r   ... Pr

      K: r

Bukti: (i) p ⋀ q      ... Pr

          (ii) p → r     ... Pr

(iii) p           ... Pr (i) simplikasi

(iv) r            ... K (ii) & (iii) modus ponens

2.      (i)   p ⋀ q               ... Pr

(ii) (p ⋁ r) → s       ... Pr

     K: p ⋀ s

Bukti: (i) p ⋀ q                  ... Pr

 (ii) (p ⋁ r) → s       ... Pr

(iii) p                      ... Pr (i) simplikasi

(iv) p ⋁ r                ... Pr (iii) adisi

(v) s                       ... Pr (ii) & (iv) modus ponens

(vi) p ⋀ s               ... K (iii) & (v) konjungsi